- Волновое число
-
Волновое число Размерность L−1
Единицы измерения СИ м−1
СГС см−1
Примечания Волново́е число́ (также[1] называемое пространственной частотой) — это отношение 2π радиан к длине волны:
пространственный аналог круговой частоты[2].
В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак минус, если волна распространяется в отрицательном направлении (против оси). В многомерном - это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определенное выбранное направление.
Обычное обозначение[3]: .
Единица измерения — рад·м−1, физическая размерность м−1. (В системе СГС: см−1).
- В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см−1). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π.
Используется в физике, математике[4] (преобразование Фурье) и таких приложениях, как обработка изображений.
Определение: волновым числом k называется быстрота роста фазы волны φ по пространственной координате[5]:
Поскольку в большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или по крайней мере почти монохроматической), производную в определении можно (для этих самых распространенных случаев) заменить на выражение с конечными разностями:
Исходя из этого можно получить разные более-менее удобные формулировки[6]:
- Волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра).
- Волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на 1 метр.
- Волновое число равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров.
Содержание
Основные соотношения
где:
- — λ — длина волны,
- — (греческая буква «ню») — частота,
- — φ — Фазовая скорость волны,
- — ω — угловая частота.
Для монохроматической бегущей волны можно записать:
-
- - для фазы,
-
- - для самой волны,
или
-
- - для комплексной волны; здесь может быть спрятано в ,
для монохроматической стоячей волны:
Замечания
Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (т.е. через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна вообще говоря содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближенно быть описаны как волны с определенным волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).
Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, т.е. волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.
В сущности, пожалуй, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с x, вообще говоря, даже очень быстро, это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:
для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.
Волновое число в квантовой физике
В квантовой физике связывается с компонентой импульса по данному направлению:
где
- px — - компонента импульса по направлению x (для одномерной системы - полный импульс),
- kx — - волновое число (компонента волнового вектора) по направлению x (для одномерной системы - просто волновое число),
- ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
Поскольку константа Планка - универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать ħ = 1. Тогда
то есть в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.
То же можно сказать для полного импульса и волнового числа без указания направления абсолютной величины волнового вектора):
а в единицах ħ = 1:
В частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближенно - для ультрарелятивистских частиц) можно также написать:где
- E — энергия,
- ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака),
- c — скорость света в вакууме.
Примечания
- ↑ Это практически полные синонимы, различающиеся несколько лишь традиционными предпочтениями употребления в разных областях, так, термин волновое число в основном употребляется в физике (впрочем, наряду с термином пространственная частота), в математике же и различных приложениях (таких, как обработка изображений) обычно употребляется для сходного понятия термин пространственная частота и даже просто частота. Дополнительно заметим, что для термина пространственная частота (частота) нередко допускается многомерное понимание, то есть он употребляется и в качестве практического синонима термина волновой вектор, тогда как для термина волновое число такое употребление по понятным причинам практически исключено. Впрочем, компоненты волнового вектора могут называться волновыми числами по осям координат.
- ↑ Круговая частота измеряется в радианах в секунду, волновое число - в радианах на метр.
- ↑ Зачастую используются и другие, как правило, оговоренные явно.
- ↑ В математике (и многих приложениях) - в основном в терминологической форме пространственная частота или даже просто частота.
- ↑ В одномерном случае выбор пространственной координаты однозначен (с точностью до зеркального отражения), в многомерном же случае по умолчанию координата x выбирается так, чтобы совпадать с направлением максимальной скорости роста фазы, то есть перпендикулярно фазовому фронту; в этом случае волновое число есть абсолютная величина волнового вектора. Наконец иногда направление x задается явно и может не совпадать с упомянутым только что; тогда обычно говорят о волновом числе по направлению x и явно указывают это в обозначении: .
- ↑ Включая и формулировку в начале статьи
См. также
Категории:- Физические величины по алфавиту
- Теория волн
- Физические величины
Wikimedia Foundation. 2010.