Цикл (теория гомологий)

В топологии и дифференциальной геометрии понятие цепи обобщает понятие многоугольника и используется для определения гомологий пространства и интегрирования дифференциальных форм на нём.

Определение

Криволинейным симплексом называется дважды непрерывно дифференцируемое невырожденное отображение симплекса $\gamma = [p_0,\ldots,p_n]$ в евклидовом пространстве в топологическое пространство M.

Цепью называется элемент свободного модуля над кольцом целых чисел, порождённого множеством симплексов данного топологического пространства, то есть формальная сумма

$\sigma = k_1 \sigma_1 + \dots + k_n \sigma_n,~ k_i \in \Bbb{Z}, \, n\in \Bbb{N}$

Число k_i называется кратностью симплекса σ_i. Сумма цепей определяется как сумма элементов модуля.

Граница $\partial \sigma_i$ криволинейного симплекса σ_i определяется как образ границы симплекса γ_i под действием отображения σ_i. На произвольные цепи граничный оператор продолжается по линейности, то есть

$\partial \sigma = k_1 \partial \sigma_1 + \dots + k_n \partial \sigma_n$

Связанные определения

• Цикл — это цепь, граница которой равна нулю.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5