Ядро Фейера

В математике, ядро Фейера используется для суммирования по Чезаро рядов Фурье. Функция задается следующей формулой:

$\Phi_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}D_k(x),$

где $D_k(x)$ это ядро Дирихле.

Также это может быть записано в сокращенной форме:

$\Phi_{n}(x) = \frac{1}{2n} \left(\frac{\sin \frac{n x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2$,

названо в честь известного венгерского математика Липота Фейера (1880 — 1959).

Соотношение с рядом Фурье

Пусть $f(x)$ — интегрируема на $[-\pi, \pi]$ и $2\pi$-периодическая, тогда $\forall x \in \mathbb{R}~\forall n \in \mathbb{N}$

$\sigma_n(f;x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x-u)\Phi_n(u)du = \int\limits_{0}^{\pi}(f(x-u)+f(x+u))\Phi_n(u)du$

Теорема (Фейера)

Пусть $f(x)$ — непрерывная, $2 \pi$ периодическая функция, тогда $\forall x \in \mathbb{R}$

$\sigma_n(x)\rightrightarrows f(x),$

где $\rightrightarrows$ — это обозначение равномерной сходимости функции, а $\sigma_n(x)$ обозначает среднее арифметическое частичных сумм ряда Фурье: $\sigma_n(x) = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}{S_k(x)}$, называемое также суммой Фейера порядка n.

Свойства ядра Фейера

• $\Phi_n(x)$ — положительная, $2\pi$-периодическая, чётная функция
• $\forall n \in \mathbb{N}~\int\limits_{-\pi}^{\pi}\Phi_n(u)du = 1$

• Для любого фиксированного $\delta > 0$ : $\int\limits_{\delta}^{\pi}\Phi_n(u)du \rightarrow 0, \int\limits_{-\pi}^{-\delta}\Phi_n(u)du \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$

См. также

• Фейер, Липот
• Теорема Фейера
• Ряд Фурье
• Ядро Дирихле
• Ядро Джексона
• Равномерная сходимость