Катастрофа голубого неба

Катастрофа голубого неба — особый тип бифуркации коразмерности 1 в теории динамических систем, при котором длина гиперболической периодической траектории при стремлении значения параметра к критическому неограниченно нарастает, и тем самым семейство таких траекторий не продолжается на предельное значение параметра. Название бифуркации появилось из словесного описания поведения траектории при бифуркации — всё удлинняясь, она в итоге «растворяется в голубом небе»^[1].

История

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Пример динамической системы, зависящей от параметра, в которой при стремлении параметра к критическому длина некоторой периодической траектории стремится к бесконечности, был описан в 1967 году Фуллером^[2]. Однако, такой пример был описан в другом контексте, пройдя вне внимания специалистов^[3], и в 1974 году Палис и Пью поставили вопрос^[4] о существовании и типичности таких бифуркаций.

В работе 1980 года В. С. Медведев разбирает^[5] пример конкретной динамической системы, в которой происходит бифуркация голубого неба, отмечая, что как до, так и после бифуркации система оказывается грубой (т. е. структурно устойчивой). Наконец, в 1995 году, Д. Тураев и Л. Шильников предъявляют^[6] пример типичного однопараметрического семейства векторных полей в размерности 3, в котором происходит такая бифуркация. Такой пример показывает, что эта бифуркация имеет коразмерность 1, — иными словами, что она происходит при пересечении некоторой гиперповерхности в пространстве всех динамических систем.

Пример

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Примечания

1. ↑ Д. В. Аносов, «О развитии теории динамических систем»
2. ↑ Fuller, F., An index of fixed point type for periodic orbits. Amer. J. Math. 89 (1967) 133—148.
3. ↑ В. С. Медведев, «О бифуркации „Катастрофа голубого неба“ на двумерных многообразиях», Матем. заметки, 51:1 (1992), 118—125. С. 118.
4. ↑ J. Palis, C. Pugh, in: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems — Warwick, 1974, Springer Lecture Notes 468, 1975.
5. ↑ В. С. Медведев, «О новом типе бифуркаций на многообразиях», Матем. сб., 113(155):3(11) (1980), 487—492.
6. ↑ Blue-sky catastrophe — Scholarpedia

Ссылки

• Andrey Shilnikov, Dmitry Turaev (2007) Blue-sky catastrophe. Scholarpedia, 2(8):1889.
• Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0
• Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, «О катастрофах голубого неба», Докл. АН СССР, 342:5 (1995), 596—599.
• Д. В. Аносов, «О развитии теории динамических систем».
• В. С. Медведев, «О бифуркации „Катастрофа голубого неба“ на двумерных многообразиях», Матем. заметки, 51:1 (1992), 118—125.
• В. С. Медведев, «О новом типе бифуркаций на многообразиях», Матем. сб., 113(155):3(11) (1980), 487—492.
• J. Palis, C. Pugh, in: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems — Warwick, 1974, Springer Lecture Notes 468, 1975.
• Fuller, F. Brock, An index of fixed point type for periodic orbits. Amer. J. Math. 89 (1967) 133—148.