- Теорема тангенсов
-
В тригонометрии, теорема тангенсов[1] — это теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.
На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что
Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или два угла и одна сторона.
Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201-74), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.[2][3]
Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.[4]
Доказательство
Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:
Пусть
откуда
Отсюда следует, что
Используя известное тригонометрическое тождество
получаем
Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество
- .
См. также
Примечания
- ↑ See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.
- ↑ Marie-Thérèse Debarnot Trigonometry // Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2 / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. — Routledge, 1996. — P. 182. — ISBN 0415124115
- ↑ Q. Mushtaq, JL Berggren Trigonometry // History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2 / C. E. Bosworth, M.S.Asimov. — Motilal Banarsidass Publ., 2002. — P. 190. — ISBN 8120815963
- ↑ «Толковый словарь математических терминов», О. В. Мантуров
Категории:- Тригонометрия
- Геометрия треугольника
Wikimedia Foundation. 2010.