- Формула Симпсона
-
Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона[1]) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).
Суть приёма заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.
Содержание
Формула
Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :
где , и — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).
Погрешность
При условии, что у функции на отрезке существует четвёртая производная, погрешность , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле равна:
В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:
Представление в виде метода Рунге-Кутты
Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:
Составная формула (формула Котеса)
Для более точного вычисления интеграла, интервал разбивают на отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.
- где — величина шага, а — узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок разбит на узлов) в виде
Также формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:
- где означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум. Следует обратить внимание на удвоение коэффициента перед суммой. Это связано с тем, что в данном случае роль промежуточных узлов играют исходные узлы интегрирования.
Общая погрешность при интегрировании по отрезку с шагом (при этом, в частности, , ) определяется по формуле[2]:
- .
При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:
- .
Примечания
- ↑ Формула Ньютона-Симпсона
- ↑ Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 4-е изд. — М: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2006. — С. 122. — 636 с. — ISBN 5-94774-396-5
Литература
- Костомаров Д. П., Фаворский А. П. «Вводные лекции по численным методам»
- Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике
Категория:- Численное интегрирование
Wikimedia Foundation. 2010.