Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)

Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)

Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)

Графен
\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla
Уравнение Дирака (графен)
Введение ...

Математическая формулировка ...

Осцилляции Шубникова — де Гааза в графене впервые наблюдали в 2005 году.[1][2] Эффект заключается в периодическом изменении сопротивления или проводимости электронного или дырочного газа как функции обратного магнитного поля. Он связан с осциллирующим поведением плотности состояний[3] в магнитном поле.

Период осцилляций

Энергия дираковских безмассовых фермионов в магнитном поле пропорциональна корню из магнитного поля и при заполнении s и s+1 релятивистских уровней Ландау можно записать для электронов на уровне Ферми (\varepsilon_F) следующие соотношения

\varepsilon_F=\hbar\omega_{c}^s\sqrt{s}
\varepsilon_F=\hbar\omega_{c}^{s+1}\sqrt{s+1}

где «циклотронная частота» \omega_{c}^s=\sqrt{2}\frac{v_F}{l_{B_s}}=v_F\sqrt{\frac{2eB_s}{\hbar}}, а магнитная длина l_{B_s}=\sqrt{\frac{\hbar}{eB_s}}, s — натуральное число 1, 2, 3, …, vF — фермиевская скорость, \hbarпостоянная Планка, eэлементарный заряд, Bs — магнитное поле соответствующее s-ому уровню Ландау. Концентрация электронов без магнитного поля равна n=\frac{g_sg_v\varepsilon_F^2}{4\pi\hbar^2v_F^2}. Используя это соотношение при условии, что магнитное поле не изменяет уровень Ферми (например он зафиксирован по внешним причинам) получим

\pi\hbar^2n=\frac{\varepsilon_F^2}{v_F^2}=2seB_s\hbar

или

s=\frac{\pi\hbar n}{2eB_s}
s+1=\frac{\pi\hbar n}{2eB_{s+1}}

Вычитая из последнего равенства предпоследнее найдём соотношение для периода осцилляций \Delta B_s^{-1}

1=\frac{\pi\hbar n}{2e}\left(\frac{1}{B_{s+1}}-\frac{1}{B_s}\right)=\frac{\pi\hbar n}{2e}\Delta B_s^{-1}

Здесь можно определить концентрацию носителей через период

n=\frac{2e}{\pi\hbar\Delta B_s^{-1}}

или фундаментальную частоту BF

n=\frac{2e}{\pi\hbar}B_F.

Эта формула аналогична формуле для концентрации двумерного электронного газа в инверсионных слоях кремния (100).

Теория Гусынина — Шарапова

В статье[4] Гусынина и Шарапова показано, что осциллирующую часть продольной компоненты тензора проводимости можно записать в виде

\sigma_{osc}=\frac{4e^2|\mu|}{\pi}\frac{(\mu^2-\Delta^2+\Gamma^2)\Theta(\mu^2-\Delta^2-\Gamma^2)}{(\hbar v_F^2eB)^2+(2\mu\Gamma)^2}\sum_{k=1}^{\infty}\cos\left(\frac{\pi k(\mu^2-\Delta^2-\Gamma^2)}{\hbar v_F^2eB}\right)R_T(k,\mu)R_D(k,\mu)

где μхимический потенциал, Δширина запрещённой зоны (в случае графена равна нулю), Γ — ширина уровня Ландау (не зависит от магнитного поля и температуры), Θ(x) — ступенчатая функция, амплитудный температурный множитель равен

R_T(k,\mu)=\frac{2\pi^2kT\mu/\hbar v_F^2eB}{\sinh(2\pi^2kT\mu/\hbar v_F^2eB)},

а множитель Дингля

R_D(k,\mu)=\exp\left(\frac{-2\pi k|\mu|\Gamma}{\hbar v_F^2eB}\right)..

Формула описывает осцилляции Шубникова — де Гааза не очень близко к точке электронейтральности. В окрестностях самой точки осцилляции магнетопроводимости отсутствуют. При больших концентрациях носителей можно пренебречь шириной запрещённой зоны и уширением уровней Ландау (\mu^2\gg \Delta^2+\Gamma^2) и частота осцилляций по обратному магнитному полю совпадает с формулой полученной ранее.

Примечания

  1. Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438, 197 (2005) DOI:10.1038/nature04233
  2. Zhang Y.et. al. «Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry’s phase in graphene» Nature 438, 201 (2005) DOI:10.1038/nature04235
  3. Sharapov S. G. et. al. Magnetic oscillations in planar systems with the Dirac-like spectrum of quasiparticle excitations Phys. Rev. B 69, 075104 (2004) DOI:10.1103/PhysRevB.69.075104
  4. Gusynin V. P. and Sharapov S. G. Magnetic oscillations in planar systems with the Dirac-like spectrum of quasiparticle excitations. II. Transport properties Phys. Rev. B 71, 125124 (2005) DOI:10.1103/PhysRevB.71.125124

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)" в других словарях:


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»