Центробежная сила

Классическая механика

$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \vec{v})$ Второй закон Ньютона

История…

Фундаментальные понятия Пространство · Время · Масса · Сила Энергия · Импульс Формулировки Ньютоновская механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Формализм Гамильтона — Якоби Разделы Прикладная механика Небесная механика Механика сплошных сред Геометрическая оптика Статистическая механика Учёные Галилей · Кеплер · Ньютон Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамильтон · Коши

См. также: Портал:Физика

Эта статья должна быть полностью переписана. На странице обсуждения могут быть пояснения.

Центробе́жная си́ла^[1] — составляющая фиктивных сил инерции, которую вводят при переходе из инерциальной системы отсчёта в соответствующим образом вращающуюся неинерциальную. Это позволяет в полученной неинерциальной системе отсчёта продолжать применять законы Ньютона для расчёта ускорения тел через баланс сил.

Зачастую это бывает удобно. Например, когда вращается целиком вся лаборатория, может быть более удобным рассматривать все движения относительно нее, введя лишь дополнительно силы инерции, в том числе центробежную, действующие на все материальные точки, чем учитывать постоянное изменение положения каждой точки относительно инерциальной системы отсчета.

Часто, особенно в технической литературе, во вращающуюся с телом неинерциальную систему отсчёта переходят неявно, и говорят о проявлениях закона инерции как о центробежной силе, действующей со стороны движущегося по круговой траектории тела на вызывающие это вращение связи, и считают её по определению равной по модулю центростремительной силе и всегда направленной в противоположную ей сторону.

Однако в общем случае, когда мгновенный центр поворота тела по дуге окружности, которой аппроксимируется траектория в каждой её точке, может не совпадать с началом вектора силы, вызывающей движение, неверно называть действующую на связь силу силой центробежной. Ведь есть ещё составляющая силы связи, направленная по касательной к траектории, и эта составляющая будет изменять скорость движения тела по ней. Поэтому некоторые физики вообще избегают использовать термин «центробежная сила», как ненужный.^[2]

Формулы

Обычно понятие центробежной силы используется в рамках классической (Ньютоновской) механики, которой касается основная часть данной статьи (хотя обобщение этого понятия и может быть в некоторых случаях достаточно легко получено для релятивистской механики).

По определению, центробежной силой называется сила инерции (то есть в общем случае — часть полной силы инерции) в неинерциальной системе отсчета, не зависящая от скорости движения материальной точки в этой системе отсчета, а также не зависящая от ускорений (линейных или угловых) самой этой системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета.

Для материальной точки центробежная сила выражается формулой:

$\vec{F}=-m \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right] = m \left( \omega^2 \vec R - \left( \vec \omega \cdot \vec R \right) \vec \omega \right) ,$

где:

$\vec{F}$ — центробежная сила приложенная к телу,

$\ m$ — масса тела,

$\vec{\omega}$ — угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной (направление вектора угловой скорости определяется по правилу буравчика),

$\vec{R}$ — радиус-вектор тела во вращающейся системе координат.

Эквивалентное выражение для центробежной силы можно записать как

$\vec{F}= m \omega^2 \vec{R_0}$

если использовать обозначение $\vec{R_0}$ для вектора, перпендикулярного оси вращения и проведенного от неё к данной материальной точке.

Центробежная сила для тел конечных размеров может быть рассчитана (как это обычно делается и для любых других сил) суммированием центробежных сил, действующих на материальные точки, являющиеся элементами, на которые мы мысленно разбиваем конечное тело.

Вывод

Пусть тело совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта со скоростью $\vec {v}_n,$ а сама система движется поступательно с линейной скоростью $\vec {v}_0$ в инерциальной системе координат и одновременно вращается с угловой скоростью $\vec\omega .$

Тогда линейная скорость тела в инерциальной системе координат равна:

$\vec v= \vec {v}_0 + \left[ \vec \omega \times \vec R \right] + \vec {v}_n,$

где $\vec R$ — радиус-вектор центра масс тела относительно неинерциальной системы отсчета. Продифференцируем данное уравнение:

$\frac{d}{dt}\vec v= \frac{d}{dt}\vec {v}_0 + \frac{d}{dt}\left[ \vec \omega \times \vec R \right] +\frac{d}{dt} \vec {v}_n.$

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

$\frac{d}{dt} \vec {v}_0 = \vec {a}_0 ,$

$\frac{d}{dt} \vec {v}_n = \vec {a}_n + \left[ \vec\omega \times \vec {v}_n \right],$

$\frac{d}{dt} \left[ \vec\omega \times \vec R \right] = \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec\omega \times \frac{d}{dt} \vec R \right] = \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec\omega \times \vec {v}_n \right] + \left[ \vec\omega \times \left[ \vec\omega \times \vec R \right] \right],$ где $\vec {a}_n$ — линейное ускорение относительно системы, $\vec \varepsilon$ — угловое ускорение.

Таким образом, получаем:

$\frac{d}{dt}\vec v = \vec a=\vec {a}_0 + \vec {a}_n + \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + 2\left[ \vec \omega \times \vec {v}_n \right]+ \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right].$

Последнее слагаемое и будет центростремительным ускорением.

Раскрыв двойное векторное произведение и положив $\vec{R}$ перпендикулярным оси вращения, получим:

$\vec a_c = \vec \omega(\vec \omega\vec R )-\vec R \vec \omega^2=-\vec R \vec \omega^2.$

Элементарное рассмотрение и мотивировка

Вращение с точки зрения инерциальной системы отсчета

Стиль этого раздела неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Следует исправить раздел согласно стилистическим правилам Википедии.

Рассмотрим спицу, вращающуюся вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси с угловой скоростью ω. Вместе со спицей вращается надетый на неё шарик, соединённый с осью пружиной.

Согласно второму закону Ньютона шарик займёт положение равновесия на таком расстоянии R от центра диска, на котором сила натяжения пружины F_pr оказывается равной произведению массы шарика m на его ускорение^[3] $a_n = \omega^2 R$:

$F_\mathrm{pr} =-m \omega^2 R =-m \frac{v^2}{R}$.^[4]

Связанная со спицей система отсчёта вращается по отношению к инерциальной системе. Относительно системы отсчёта, связанной со спицей, шарик покоится, хотя на него действует сила упругости пружины. Это не противоречит второму закону Ньютона, так как вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и соотношение $F=ma$ в ней не выполняется.

Вращение с точки зрения неинерциальной системы отсчёта. Сила инерции

Стиль этого раздела неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Следует исправить раздел согласно стилистическим правилам Википедии.

Для практических целей, однако, удобнее считать, что второй закон Ньютона выполняется и с точки зрения вращающейся системы отсчёта, введя для этого формально силу инерции $F_\mathrm{cf} = - F_\mathrm{pr} = m \omega^2 R$^[4], действующую на шарик вдоль радиуса от центра диска наряду с реальной силой F_pr.

Силу инерции F_cf, вводимую во вращающейся системе отсчёта, называют центробежной силой. Эта сила действует на тело во вращающейся системе отсчёта, независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно неё со скоростью v’.

Следует иметь в виду, что для правильного описания движения тел во вращающихся системах отсчёта, кроме центробежной силы следует также вводить силу Кориолиса.

В литературе встречается и совсем другое понимание термина «центробежная сила». Так иногда называют реальную силу, приложенную не к совершающему вращательное движение телу, а действующую со стороны тела на ограничивающие его движение связи. В рассмотренном выше примере так называли бы силу, действующую со стороны шарика на пружину. (См., например, ниже ссылку на БСЭ.)

Центробежная сила как реальная сила

Центростремительная и центробежная силы при движении тел по круговым траекториям с общей осью вращения

Применяемый не к связям, а, наоборот, к поворачиваемому телу, как объекту своего воздействия, термин «центробежная сила» (букв. cила, приложенная к поворачивающемуся или вращающемуся материальному телу, заставляющего его бежать от мгновенного центра поворота), есть эвфемизм, основанный на ложном толковании первого закона (принципа Ньютона)^[5] в форме:

Всякое тело сопротивляется изменению своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения под действием внешней силы

Или ещё^[6]:

Всякое тело стремится сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока не подействует внешняя сила.

Отголоском этой традиции и является представление о некоей силе, как о материальном факторе, реализующем это сопротивление или стремление. О существовании такой силы уместно было бы говорить, если бы, например, вопреки действующим силам, движущееся тело сохраняло бы свою скорость, но это не так^[7].

Первый закон Ньютона, нередко называемый принципом и потому допускающим различия в словесной форме его выражения, сводится к утверждению, что природа вещей такова, что скорость движения материальной точки, как по величине, так и по направлению в некоторой системе отсчёта (сам Ньютон связывал её с эфиром, заполняющим всё пространство)^[5], остаётся постоянной, но начинает изменяться тотчас, как возникает на то причина, называемая силой.

Рассматриваемое тело с массой (точнее — инертной массой) $m$ приобретает отличающееся от нуля ускорение $a$ в тот же момент $t = 0$, когда начинает действовать на него сила $F$ (Второй закон Ньютона:$\vec F = m \vec a$). Однако для достижения отличающейся от нуля скорости $v$ требуется некоторое время $t$ в соответствии с определением импульса силы: $t = mv/F$. Или, иначе, скорость тела не изменяется сама по себе, без причины, но она начинает изменяться тотчас, как на него начинает действовать сила^[8].

Использование термина «центробежная сила» правомочно тогда, когда точкой её приложения является не испытывающее поворот тело, а ограничивающее его движение связи. В этом смысле центробежная сила представляет собой один из членов в формулировке третьего закона Ньютона, антагониста центростремительной силе, вызывающей поворот рассматриваемого тела и к нему приложенной. Обе эти силы равны по величине и противоположны по направлению, но приложены к разным телам и потому не компенсируют друг друга, а вызывают реально ощутимый эффект — изменение направление движения тела (материальной точки).

Оставаясь в инерциальной системе отсчёта, рассмотрим два небесных тела, например, компонента двойной звезды с массами одного порядка величины ${M_1}$ и ${M_2}$, находящихся на расстоянии $R$ друг от друга. В принятой модели эти звёзды рассматриваются как материальные точки и $R$ есть расстояние между их центрами масс. В роли связи между этими телами выступает сила Всемирного тяготения ${F_G}: {G M_1 M_2 /R^2}$, где $G$- гравитационная постоянная. Это — единственная здесь действующая сила, она вызывает ускоренное движение тел навстречу друг другу.

Однако, в том случае, если каждое из этих тел совершает вращение вокруг общего центра масс с линейными скоростями ${v_1}$ = ${\omega}_1$ ${R_1}$ и ${v_2}$ = ${\omega_2}$ ${R_2}$, то подобная динамическая система будет неограниченное время сохранять свою конфигурацию, если угловые скорости вращения этих тел будут равны: ${\omega_1}$ = ${\omega_2}$ = $\omega$, а расстояния от центра вращения (центра масс) будут соотноситься, как: ${ M_1/M_2 }$ = ${R_2/R_1}$, причём ${R_2} + {R_1} = R$, что непосредственно следует из равенства действующих сил: ${F_1} = {M_1}{a_1}$ и ${F_2} = {M_2}{ a_2 }$, где ускорения равняются соответственно: ${a_1 }$= ${\omega^2}{R_1}$ и ${a_2} = {\omega^2}{ R_2}$^[9].

Центростремительные силы, вызывающие движение тел по круговым траекториям равны (по модулю): ${F_1}$ =${F_2}$ $= {F_G}$. При этом первая из них является центростремительной, а вторая — центробежной и наоборот: каждая из сил в соответствии с Третьим законом является и той, и другой.

Поэтому, строго говоря, использование каждого из обсуждаемых терминов излишне, поскольку они не обозначают никаких новых сил, являясь синонимами единственной силы — силы тяготения. То же самое справедливо и в отношении действия любой из упомянутых выше связей.

Однако, по мере изменения соотношения между рассматриваемыми массами, то есть всё более значительного расхождения в движении обладающих этими массами тел, разница в результатах действия каждой из рассматриваемых тел для наблюдателя становится всё более значительной.

В ряде случаев наблюдатель отождествляет себя с одним из принимающих участие тел, и потому оно становится для него неподвижным. В этом случае при столь большом нарушении симметрии в отношении к наблюдаемой картине, одна из этих сил оказывается неинтересной, поскольку практически не вызывает движения.

См. также

• Сила Кориолиса
• Инерция

Примечания

1. ↑ Вне контекста физики/механики/математики, например, в философии, публицистике или художественной литературе, а также иногда и в разговорной речи, слова центробежная сила могут нередко употребляться просто как обозначение некоего влияния, направленного прочь от некоторого «центра»; в таком употреблении это может быть никак не связано не только с каким-либо вращением, но и с понятием силы, как оно употребляется в физике.
2. ↑ С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. М.,1967 г. Издательство «Наука».Главная редакция физико-математической литературы.
3. ↑ Воспользуемся формулой центростремительного ускорения.
4. ↑ ^{1 2} Физическая энциклопедия, т.4 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.494 и стр.495
5. ↑ ^{1 2} Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. и прим. А. Н. Крылова. М.: Наука, 1989
6. ↑ Ключевым в этой формулировке является утверждение о наличии у предметов материального мира неких волевых качеств, что было в начале формирования научных представлений об окружающем мире весьма распространённым способом обобщения результатов наблюдения за явлениями природы и выяснения свойственных ей общих закономерностей . Примером такого анималистического представления о природе являлся бытовавший в натурфилософии принцип: «Природа боится пустоты», от которого пришлось отказаться после эксперимента Торричелли (Торричеллиева пустота)
7. ↑ В связи с этим Максвелл заметил, что, с таким же успехом можно было бы сказать, что кофе сопротивляется тому, чтобы стать сладким апеллируя к тому, что оно становится сладким не само по себе, а лишь после того, что в него положен сахар.
8. ↑ С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. М.: «Наука», 1967 г.
9. ↑ При этом в каждый малый момент времени каждое из тел будет приближаться к центру на такое расстояние, какое равно разности расстояний между его траекторией и касательной в точке наблюдения. Иными словами, тела падают друг на друга, но всегда промахиваются.

Ссылки

• «Центробежная сила» в Большой советской энциклопедии
• Матвеев А. Н. Механика и теория относительности: Учебник для студентов вузов. — 3-е издание. — М.: ООО "Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО "Издательство «Мир и образование», 2003. — с. 405—406

Для улучшения этой статьи желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.