- Теорема вращения Эйлера
-
Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое вращение трёхмерного пространства имеет ось.
Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.
Для заданного единичного вектора n и угла φ обозначим R(φ, n) вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол φ. Тогда:
- R(0, n) — тождественное отображение для любого n
- R(φ, n) = R(−φ, −n)
- R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)
Для любого вращения существует единственный угол φ, для которого 0 ≤ φ ≤ π, при этом:
- n определяется однозначно, если 0 < φ < π
- n любое, если φ = 0
- n определяется однозначно с точностью до знака, если φ = π (то есть, вращения R(π, ±n) одинаковы).
Геометрия группы вращений
Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства SO(3). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.
Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.
Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе вращений пространства SO(3).
См. также
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категория:- Стереометрия
Wikimedia Foundation. 2010.